5. Удвоение медианы и свойства четырёхугольника. В треугольнике ABC точка M — середина стороны BC. Точка D выбрана так, что M — середина отрезка AD. Кроме того, AB = AC. Рассмотрите четырёхугольник ABDC. Выберите все верные утверждения и кратко обоснуйте каждый выбранный вывод через свойства диагоналей и равенство сторон: 1) четырёхугольник ABDC обязательно является прямоугольником; 2) четырёхугольник ABDC является ромбом, поскольку в нём все стороны равны; 3) четырёхугольник ABDC имеет центр симметрии в точке M; 4) четырёхугольник ABDC обязательно является квадратом; 5) четырёхугольник ABDC является параллелограммом, поскольку его диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Диагонали четырёхугольника ABDC — AD и BC. По условию M — середина каждой из них.

Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то он является параллелограммом. Следовательно, ABDC — параллелограмм, а M — его центр симметрии.

В параллелограмме противоположные стороны равны: AB = DC и BD = AC. Так как AB = AC, получаем AB = BD = DC = AC; значит, ABDC — ромб. Условие не требует прямых углов, поэтому он не обязательно является прямоугольником или квадратом.

Ответ: верны утверждения 2, 3 и 5.