№5. Укажите все цифры, которыми можно заменить звёздочки так, чтобы: а) числа 7*1; 5*8 делились на 3; б) числа *18; 17*0; 34*8 делились на 9; в) числа 27*; 1*3* делились на 3 и на 5; г) числа 38705*6; 69806* были кратны 3 и 4.

Используем признаки делимости: на 3 и на 9 — сумма цифр делится соответственно на 3 или на 9; на 5 — последняя цифра 0 или 5; на 4 — последние две цифры делятся на 4.

а) Для числа 7*1: сумма цифр равна 8 + *. Подходят цифры 1, 4, 7. Для числа 5*8: сумма цифр равна 13 + *. Подходят цифры 2, 5, 8.

б) Для числа *18: сумма цифр равна * + 9, поэтому подходят 0 и 9. Для числа 17*0: сумма цифр равна 8 + *, поэтому подходит цифра 1. Для числа 34*8: сумма цифр равна 15 + *, поэтому подходит цифра 3.

в) Число 27* должно делиться на 5, значит последняя цифра — 0 или 5. Проверяем делимость на 3: подходят только 0 и 5? Для 270 сумма цифр 9, для 275 сумма цифр 14, поэтому подходит только 0. В числе 1*3* последняя цифра должна быть 0 или 5. Для делимости на 3 сумма цифр равна 4 + первая звёздочка + последняя звёздочка. Получаем пары: (2; 0), (5; 0), (8; 0), (1; 5), (4; 5), (7; 5).

г) Число 38705*6 делится на 4, если последние две цифры 6* делятся на 4. Подходят 2 и 6. Для делимости на 3 сумма известных цифр равна 29, поэтому подходит цифра 1; одновременно с делимостью на 4 получаем цифру 2? Проверяем: сумма цифр при * = 2 равна 31, а при * = 6 равна 35 — ни одно число не делится на 3. Следовательно, подходящих цифр нет. Для числа 69806* последние две цифры 6* делятся на 4, поэтому подходят 0, 4 и 8. Сумма известных цифр равна 29; для делимости на 3 нужна цифра 1, но 61 на 4 не делится. Следовательно, подходящих цифр нет.

Ответ: а) 7*1: 1, 4, 7; 5*8: 2, 5, 8. б) *18: 0, 9; 17*0: 1; 34*8: 3. в) 27*: 0; 1*3*: (2;0), (5;0), (8;0), (1;5), (4;5), (7;5). г) подходящих цифр нет для обоих чисел.