5. Упрости выражение \( \left( \frac{1}{a^2+2ab} - \frac{1}{a^2-2ab} \right) : \frac{4b^2}{4b^2-a^2} \) и найди его значение при \( a = -1, b = 1 \).

Решение:

1. Упростим выражение в скобках. Приведём дроби к общему знаменателю \( (a^2+2ab)(a^2-2ab) \):
   • \( \frac{1}{a^2+2ab} = \frac{a-2b}{(a+2b)(a-2b)} \)
   • \( \frac{1}{a^2-2ab} = \frac{a+2b}{(a-2b)(a+2b)} \)
2. Вычислим разность дробей в скобках:
   • \( \frac{1}{a^2+2ab} - \frac{1}{a^2-2ab} = \frac{a-2b}{(a^2+2ab)(a-2b)} - \frac{a+2b}{(a^2-2ab)(a+2b)} \)
   • \( = \frac{a-2b}{(a^2-4b^2)} - \frac{a+2b}{(a^2-4b^2)} \)
   • \( = \frac{(a-2b) - (a+2b)}{a^2-4b^2} = \frac{a-2b-a-2b}{a^2-4b^2} = \frac{-4b}{a^2-4b^2} \)
3. Теперь выполним деление. Заметим, что \( 4b^2-a^2 = -(a^2-4b^2) \). Тогда \( \frac{4b^2}{4b^2-a^2} = \frac{4b^2}{-(a^2-4b^2)} = -\frac{4b^2}{a^2-4b^2} \).
4. Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь:
   • \( \frac{-4b}{a^2-4b^2} : \frac{4b^2}{4b^2-a^2} = \frac{-4b}{a^2-4b^2} \cdot \frac{4b^2-a^2}{4b^2} = \frac{-4b}{a^2-4b^2} \cdot \frac{-(a^2-4b^2)}{4b^2} \)
5. Сократим одинаковые множители:
   • \( \frac{-4b}{1} \cdot \frac{-1}{4b^2} = \frac{4b}{4b^2} = \frac{1}{b} \)
6. Теперь найдём значение выражения при \( a = -1, b = 1 \).
7. Подставим \( b=1 \) в полученное выражение: \( \frac{1}{b} = \frac{1}{1} = 1 \).

Ответ: 1.