5. Упростить выражение и найти его значение: a^(m-n) / a^(m+n) при a = 1/3, n = 1/3

Решение:

Сначала упростим выражение, используя свойства степеней \( \frac{a^p}{a^q} = a^{p-q} \).

\[ \frac{a^{m-n}}{a^{m+n}} = a^{(m-n) - (m+n)} = a^{m-n-m-n} = a^{-2n} \]

Теперь подставим заданные значения \( a = \frac{1}{3} \) и \( n = \frac{1}{3} \).

\[ a^{-2n} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2 \cdot \frac{1}{3}} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-\frac{2}{3}} \]

Чтобы избавиться от отрицательного показателя степени, перевернем основание:

\[ \left(\frac{1}{3}\right)^{-\frac{2}{3}} = 3^{\frac{2}{3}} \]

Представим в виде корня:

\[ 3^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{3^2} = \sqrt[3]{9} \]

Ответ: \( \sqrt[3]{9} \)