5. Упростить выражение и найти его значение: \(\frac{a^{-6}}{a^{-3} \cdot a^{-2}}, при \( a = \frac{2}{3} \)

Решение:

Сначала упростим выражение, используя свойства степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) и \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

В знаменателе:

\( a^{-3} \cdot a^{-2} = a^{-3 + (-2)} = a^{-5} \)

Теперь разделим числитель на упрощённый знаменатель:

\( \frac{a^{-6}}{a^{-5}} = a^{-6 - (-5)} = a^{-6 + 5} = a^{-1} \)

Выражение упрощено до \( a^{-1} \), что равно \( \frac{1}{a} \).

Теперь подставим значение \( a = \frac{2}{3} \) в упрощённое выражение:

\( \frac{1}{a} = \frac{1}{\frac{2}{3}} \)

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную дробь:

\( 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \)

Ответ: \( \frac{3}{2} \).