5. Упростите выражение: 1) $\left(\frac{\sqrt a}{\sqrt b}+\frac{\sqrt b}{\sqrt a}+2\right)\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt a+\sqrt b}$; 2) $\frac{\sqrt5}{2-\sqrt5}$; 3) $\frac1{1-\sqrt[4]{2}}$; 4) $\frac1{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Упростите выражение: 1) \(\left(\frac{\sqrt a}{\sqrt b}+\frac{\sqrt b}{\sqrt a}+2\right)\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt a+\sqrt…$ Фото задания

5. Упростите выражение: 1) $\left(\frac{\sqrt a}{\sqrt b}+\frac{\sqrt b}{\sqrt a}+2\right)\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt a+\sqrt b}$; 2) $\frac{\sqrt5}{2-\sqrt5}$; 3) $\frac1{1-\sqrt[4]{2}}$; 4) $\frac1{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5}$.

Accepted Answer

1) Преобразуем сумму в скобках:

\[\frac{\sqrt a}{\sqrt b}+\frac{\sqrt b}{\sqrt a}+2=\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}=\frac{(\sqrt a+\sqrt b)^2}{\sqrt{ab}}.\]

Тогда

\[\frac{(\sqrt a+\sqrt b)^2}{\sqrt{ab}}\cdot\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt a+\sqrt b}=\sqrt a+\sqrt b.\]

2) Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение:

\[\frac{\sqrt5}{2-\sqrt5}\cdot\frac{2+\sqrt5}{2+\sqrt5}=\frac{2\sqrt5+5}{4-5}=-5-2\sqrt5.\]

3) Используем формулу разности четвёртых степеней:

\[\frac1{1-\sqrt[4]{2}}=-\frac{1+\sqrt[4]{2}+\sqrt2+\sqrt[4]{8}}{(\sqrt[4]{2})^4-1}=-\left(1+\sqrt[4]{2}+\sqrt2+\sqrt[4]{8}\right).\]

4) Домножим на сопряжённое к сумме $\sqrt2+\sqrt3$ и $\sqrt5$:

\[\frac1{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5}=\frac{\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5}{(\sqrt2+\sqrt3)^2-5}=\frac{\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5}{2\sqrt6}.\]

Рационализируем знаменатель:

\[\frac{\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5}{2\sqrt6}=\frac{2\sqrt3+3\sqrt2-\sqrt{30}}{12}.\]

Ответ: 1) $\sqrt a+\sqrt b$; 2) $-5-2\sqrt5$; 3) $-1-\sqrt[4]{2}-\sqrt2-\sqrt[4]{8}$; 4) $\frac{2\sqrt3+3\sqrt2-\sqrt{30}}{12}$.

5. Упростите выражение: 1) \(\left(\frac{\sqrt a}{\sqrt b}+\frac{\sqrt b}{\sqrt a}+2\right)\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt a+\sqrt b}\); 2) \(\frac{\sqrt5}{2-\sqrt5}\); 3) \(\frac1{1-\sqrt[4]{2}}\); 4) \(\frac1{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5}\).

Ответ: