№ 5. Упростите выражение: ((x³ + 8)/(x³ − 2x² + 4x) + (8x³ − 1)/(4x² + 2x + 1)) : ((8x³ + 1)/(4x² − 2x + 1) − (x³ − 8)/(x³ + 2x² + 4x)).

Разложим суммы и разности кубов на множители. Для действительных \(x\) исходное выражение определено при \(x\ne0\).

Первая скобка:

\(\frac{x^3+8}{x^3-2x^2+4x}+\frac{8x^3-1}{4x^2+2x+1}=\frac{(x+2)(x^2-2x+4)}{x(x^2-2x+4)}+\frac{(2x-1)(4x^2+2x+1)}{4x^2+2x+1}\)

\(=\frac{x+2}{x}+2x-1=\frac{x+2+x(2x-1)}{x}=\frac{2(x^2+1)}{x}.\)

Вторая скобка:

\(\frac{8x^3+1}{4x^2-2x+1}-\frac{x^3-8}{x^3+2x^2+4x}=\frac{(2x+1)(4x^2-2x+1)}{4x^2-2x+1}-\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x(x^2+2x+4)}\)

\(=2x+1-\frac{x-2}{x}=\frac{x(2x+1)-(x-2)}{x}=\frac{2(x^2+1)}{x}.\)

Следовательно, исходное выражение равно \(\frac{2(x^2+1)}{x}:\frac{2(x^2+1)}{x}=1\). При действительном \(x\ne0\) делитель не равен нулю.

Ответ: 1, при \(x\ne0\).