№ 5. Упростите выражения: 1) $\dfrac{a+4}{a^2-9}+\dfrac{3}{a+3}$; 2) $\dfrac{x^2}{x^2-64}-\dfrac{x}{x+8}$; 3) $-\dfrac{y^2}{x^2+y^2+2xy}+\dfrac{y}{x+y}$; 4) $-\dfrac{x^2}{x^2+10x+25}+\dfrac{x}{x+5}$; 5) $\dfrac{x-y}{y}-\dfrac{x-y}{x+y}$; 6) $\dfrac{a-b}{a+b}-\dfrac{a-b}{b}$; 7) $\dfrac{5x+3}{2(x+1)}-\dfrac{7x+4}{3(x+1)}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: № 5. Упростите выражения: 1) $\dfrac{a+4}{a^2-9}+\dfrac{3}{a+3}$; 2) $\dfrac{x^2}{x^2-64}-\dfrac{x}{x+8}$; 3)…$ Фото задания

№ 5. Упростите выражения: 1) $\dfrac{a+4}{a^2-9}+\dfrac{3}{a+3}$; 2) $\dfrac{x^2}{x^2-64}-\dfrac{x}{x+8}$; 3) $-\dfrac{y^2}{x^2+y^2+2xy}+\dfrac{y}{x+y}$; 4) $-\dfrac{x^2}{x^2+10x+25}+\dfrac{x}{x+5}$; 5) $\dfrac{x-y}{y}-\dfrac{x-y}{x+y}$; 6) $\dfrac{a-b}{a+b}-\dfrac{a-b}{b}$; 7) $\dfrac{5x+3}{2(x+1)}-\dfrac{7x+4}{3(x+1)}$.

Accepted Answer

Разложим знаменатель на множители и приведём дроби к общему знаменателю:
$a^2-9=(a-3)(a+3)$.
$\dfrac{a+4}{(a-3)(a+3)}+\dfrac{3(a-3)}{(a-3)(a+3)}=\dfrac{a+4+3a-9}{a^2-9}=\dfrac{4a-5}{a^2-9}$.
ОДЗ: $a\ne -3,\ a\ne 3$.
Разложим разность квадратов и приведём к общему знаменателю:
$x^2-64=(x-8)(x+8)$.
$\dfrac{x^2}{(x-8)(x+8)}-\dfrac{x(x-8)}{(x-8)(x+8)}=\dfrac{x^2-x(x-8)}{x^2-64}=\dfrac{8x}{x^2-64}$.
ОДЗ: $x\ne -8,\ x\ne 8$.
Заметим, что $x^2+y^2+2xy=(x+y)^2$, затем приведём дроби к общему знаменателю:
$-\dfrac{y^2}{(x+y)^2}+\dfrac{y(x+y)}{(x+y)^2}=\dfrac{-y^2+xy+y^2}{(x+y)^2}=\dfrac{xy}{(x+y)^2}$.
ОДЗ: $x+y\ne 0$.
Представим квадратный трёхчлен как квадрат двучлена:
$x^2+10x+25=(x+5)^2$.
$-\dfrac{x^2}{(x+5)^2}+\dfrac{x(x+5)}{(x+5)^2}=\dfrac{-x^2+x^2+5x}{(x+5)^2}=\dfrac{5x}{(x+5)^2}$.
ОДЗ: $x\ne -5$.
Общий знаменатель — $y(x+y)$:
$\dfrac{(x-y)(x+y)}{y(x+y)}-\dfrac{y(x-y)}{y(x+y)}=\dfrac{(x-y)((x+y)-y)}{y(x+y)}=\dfrac{x(x-y)}{y(x+y)}$.
ОДЗ: $y\ne 0,\ x+y\ne 0$.
Приведём дроби к общему знаменателю $b(a+b)$:
$\dfrac{b(a-b)}{b(a+b)}-\dfrac{(a-b)(a+b)}{b(a+b)}=\dfrac{(a-b)(b-a-b)}{b(a+b)}=-\dfrac{a(a-b)}{b(a+b)}$.
ОДЗ: $b\ne 0,\ a+b\ne 0$.
Общий знаменатель — $6(x+1)$:
$\dfrac{3(5x+3)-2(7x+4)}{6(x+1)}=\dfrac{15x+9-14x-8}{6(x+1)}=\dfrac{x+1}{6(x+1)}=\dfrac{1}{6}$.
Сокращение допустимо при условии исходного выражения $x\ne -1$.

Ответ: 1) $\dfrac{4a-5}{a^2-9}$; 2) $\dfrac{8x}{x^2-64}$; 3) $\dfrac{xy}{(x+y)^2}$; 4) $\dfrac{5x}{(x+5)^2}$; 5) $\dfrac{x(x-y)}{y(x+y)}$; 6) $-\dfrac{a(a-b)}{b(a+b)}$; 7) $\dfrac{1}{6}$, при $x\ne -1$.