5. В банановой республике Бета растёт 45 банановых пальм и 10 апельсиновых деревьев, а в соседней апельсиновой республике Альфа — 20 таких же банановых пальм и 50 точно таких же апельсиновых деревьев. Житель банановой республики за день собирает бананы с 15 пальм и апельсины с 5 деревьев, а житель апельсиновой республики за то же время собирает бананы с 5 пальм или апельсины с 20 деревьев. Если жители объединят усилия, то за какое минимальное количество дней они смогут собрать все плоды в двух республиках?

Всего нужно собрать бананы с 45 + 20 = 65 пальм и апельсины с 10 + 50 = 60 деревьев. Пусть за T дней житель Беты собирает бананы, а житель Альфы — часть бананов и часть апельсинов. Чтобы уложиться в минимальный срок, жителю Беты выгодно всё время собирать бананы: он делает это быстрее.

Обозначим через y количество дней, в течение которых житель Альфы собирает бананы. Тогда он соберёт с 5y пальм, а для оставшихся бананов жителю Беты понадобится (65 − 5y) ÷ 15 дней. Для сбора апельсинов после y дней сбора бананов житель Альфы располагает T − y днями, а житель Беты — T днями. Условия достаточности времени:

Жителю Беты для бананов нужно не более T дней: (65 − 5y) ÷ 15 ≤ T.

Апельсины должны быть собраны за оставшееся время: 5T + 20(T − y) ≥ 60.

Минимум достигается при y = 1 и T = 4: житель Беты собирает бананы 4 дня, получая 60 пальм; житель Альфы собирает бананы 1 день (5 пальм), а затем апельсины 3 дня (60 деревьев). Бананы с оставшихся пальм житель Беты собирает за оставшееся время: 65 пальм требуют 65 ÷ 15 = 4⅓ дня, поэтому такое распределение не подходит.

Чтобы выполнить обе работы за 4 дня, житель Беты собирает бананы 4 дня и апельсины не собирает. Житель Альфы собирает бананы 1 день (5 пальм), а апельсины 3 дня (60 деревьев). За 4 дня житель Беты успевает собрать с 60 пальм; вместе это 65 пальм.

Ответ: 4 дня.