5. В четырехугольнике ABCD угол C = 90°, угол CBD = 30°, угол ABD = 60°, угол BDA = 30°. Определите вид этого четырехугольника.

Решение:

Рассмотрим \( \triangle BCD \). \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle CBD = 30^{\circ} \). Тогда \( \angle BDC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle ABD \). \( \angle ABD = 60^{\circ} \), \( \angle BDA = 30^{\circ} \). Тогда \( \angle BAD = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 30^{\circ} = 90^{\circ} \).

Мы имеем четырехугольник \( ABCD \) с углами \( \angle A = 90^{\circ} \) и \( \angle C = 90^{\circ} \). Это означает, что стороны \( AB \) и \( CD \) параллельны (так как обе перпендикулярны \( BC \) или \( AD \) — в зависимости от расположения точек, но при \( \angle A=90^{\circ} \) и \( \angle C=90^{\circ} \) это следует из того, что сумма углов, прилежащих к одной стороне, например \( \angle B + \angle C = \angle ABC + 90^{\circ} \) и \( \angle A + \angle D = 90^{\circ} + \angle ADC \) — нам этого недостаточно.

Давайте посмотрим на углы при вершине B. \( \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 60^{\circ} + 30^{\circ} = 90^{\circ} \).

Итак, все углы четырехугольника \( ABCD \) равны 90°: \( \angle A = 90^{\circ}, \angle B = 90^{\circ}, \angle C = 90^{\circ}, \angle D = ? \).

Сумма углов четырехугольника равна 360°. \( \angle D = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \).

Все углы равны 90°, значит, четырехугольник является прямоугольником.

Ответ: в) прямоугольник