5(в). Докажите, что если три окружности имеют общую хорду, то их центры расположены на одной прямой.

Решение:

Пусть даны три окружности с центрами \( O_1 \), \( O_2 \) и \( O_3 \). Пусть эти окружности имеют общую хорду \( AB \).

Свойство хорды: Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит её пополам.

Так как \( AB \) является хордой для каждой из трёх окружностей, то:

• Для окружности с центром \( O_1 \): perpendicular \( O_1M \) к \( AB \) проходит через середину \( M \) хорды \( AB \).
• Для окружности с центром \( O_2 \): perpendicular \( O_2M \) к \( AB \) проходит через середину \( M \) хорды \( AB \).
• Для окружности с центром \( O_3 \): perpendicular \( O_3M \) к \( AB \) проходит через середину \( M \) хорды \( AB \).

Таким образом, прямая, проходящая через середину хорды \( AB \) и перпендикулярная ей, содержит центры \( O_1 \), \( O_2 \) и \( O_3 \) всех трёх окружностей. Следовательно, точки \( O_1 \), \( O_2 \) и \( O_3 \) лежат на одной прямой.

Что и требовалось доказать.