5. В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите расстояние от точки A до плоскости (BDC₁).

Введём координаты куба с ребром 1: \(A=(0;0;0)\), \(B=(1;0;0)\), \(D=(0;1;0)\), \(C_1=(1;1;1)\).

Направляющие векторы плоскости: \(\overrightarrow{BD}=(-1;1;0)\), \(\overrightarrow{BC_1}=(0;1;1)\). Их векторное произведение — нормаль \((1;1;-1)\). Поэтому уравнение плоскости через точку B имеет вид \(x+y-z=1\).

Расстояние от точки \(A=(0;0;0)\) до этой плоскости:

\(d=\frac{|0+0-0-1|}{\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\).

Ответ: \(\frac{\sqrt3}{3}\).