5. В группе учатся 20 студентов, из них 15 человек сдали зачёт по истории и 10 сдали зачёт по русскому языку. Укажите номера всех истинных утверждений: 1) Хотя бы 5 студентов из этой группы сдали зачёты и по истории, и по русскому языку. 2) В этой группе найдётся 6 студентов, не сдавших ни одного из этих двух зачётов. 3) Менее 11 студентов из этой группы сдали зачёты и по истории, и по русскому языку. 4) В этой группе найдётся 10 студентов, которые не сдали зачёт по истории, но сдали зачёт по русскому языку.

Обозначим через x число студентов, сдавших оба зачёта.

По формуле включений и исключений:

15 + 10 − x ≤ 20, откуда x ≥ 5.

Также x ≤ 10, так как русский язык сдали 10 студентов.

1. Оба зачёта сдали хотя бы 5 студентов — верно.
2. Число студентов, не сдавших ни одного зачёта, равно 20 − (15 + 10 − x) = x − 5. Оно может быть равно 0, но не обязано быть равно 6 — утверждение неверно.
3. Число студентов, сдавших оба зачёта, не превышает 10, значит, оно меньше 11 — верно.
4. Русский язык сдали только 10 − x студентов, то есть не более 5, поэтому 10 студентов найти нельзя — неверно.

Ответ: 1, 3.