5. В группе учится 25 студентов, 18 человек сдали зачёт по истории и 12 сдали зачёт по английскому языку. Укажите номера всех истинных утверждений. 1) Менее 13 студентов из этой группы сдали зачёты и по истории, и по английскому языку. 2) В этой группе найдётся 12 студентов, которые не сдали зачёт по истории, но сдали зачёт по английскому языку. 3) Если студент этой группы сдал зачёт по истории, то он сдал и зачёт по английскому языку. 4) Хотя бы 5 студентов из этой группы сдали зачёты и по истории, и по английскому языку.

Обозначим число студентов, сдавших оба зачёта, через \(x\). По принципу включения-исключения:

\(18+12-25\le x\le\min(18,12)\), то есть \(5\le x\le12\).

1. Истинно: число сдавших оба зачёта не больше 12, следовательно, меньше 13.
2. Ложно: сдавших английский, но не историю, будет \(12-x\), а это не обязательно 12; поскольку \(x\ge5\), их не больше 7.
3. Ложно: для этого все 18 сдавших историю должны были бы сдать английский, но английский сдали только 12.
4. Истинно: минимум сдавших оба зачёта равен \(18+12-25=5\).

Ответ: 1, 4.