5. В группе учится 25 студентов, из них 18 человек сдали зачёт по истории и 12 сдали зачёт по английскому языку. Укажите номера всех истинных утверждений. 1) Менее 13 студентов из этой группы сдали зачёты и по истории, и по английскому языку. 2) В этой группе найдётся 12 студентов, которые не сдали зачёт по истории, но сдали зачёт по английскому языку. 3) Если студент этой группы сдал зачёт по истории, то он сдал и зачёт по английскому языку. 4) Хотя бы 5 студентов из этой группы сдали зачёты и по истории, и по английскому языку.

Обозначим через x число студентов, сдавших оба зачёта.

По формуле включений и исключений:

\(18+12-x\leq25\), откуда \(x\geq5\).

Также \(x\leq12\), так как английский зачёт сдали 12 студентов.

1. \(x<13\) — верно, поскольку \(x\leq12\).
2. Студентов, сдавших английский, но не сдавших историю, \(12-x\leq7\), поэтому утверждение неверно.
3. Из условия не следует, что каждый сдавший историю сдал английский. Утверждение неверно.
4. \(x\geq5\), поэтому утверждение верно.

Ответ: 1, 4.