5. В коробке 7 красных и 3 синих шара. Случайным образом из коробки извлекают 5 шаров. Какова вероятность события «среди извлеченных не более 3 красных шаров»?

Решение:

Всего в коробке \( 7 + 3 = 10 \) шаров. Из них случайным образом извлекают 5 шаров.

Общее число способов выбрать 5 шаров из 10 равно числу сочетаний из 10 по 5:

\[ C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 9 8 7 6}{5 4 3 2 1} = 2 3 2 7 3 = 252 \]

Событие «среди извлеченных не более 3 красных шаров» означает, что число красных шаров может быть 0, 1, 2 или 3.

Рассмотрим каждый случай:

• 0 красных шаров (и 5 синих): Это невозможно, так как в коробке всего 3 синих шара. Число способов: \( C_7^0 C_3^5 = 1 0 = 0 \).
• 1 красный шар (и 4 синих): Это невозможно, так как в коробке всего 3 синих шара. Число способов: \( C_7^1 C_3^4 = 7 0 = 0 \).
• 2 красных шара (и 3 синих): Число способов выбрать 2 красных из 7 и 3 синих из 3 равно: \( C_7^2 C_3^3 = \frac{7!}{2!5!} 1 = \frac{7 6}{2 1} 1 = 21 1 = 21 \).
• 3 красных шара (и 2 синих): Число способов выбрать 3 красных из 7 и 2 синих из 3 равно: \( C_7^3 C_3^2 = \frac{7!}{3!4!} 3 = \frac{7 6 5}{3 2 1} 3 = 35 3 = 105 \).

Общее число благоприятных исходов равно сумме способов для каждого случая:

\[ 0 + 0 + 21 + 105 = 126 \]

Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

\[ P(\text{не более 3 красных}) = \frac{126}{252} = \frac{1}{2} \]

Ответ: \( \frac{1}{2} \).