5. В кубе A…D1 найдите угол между прямыми BA1 и AC.

Обозначим ребро куба через \(a\) и зададим координаты: \(A=(0,0,0)\), \(B=(a,0,0)\), \(C=(a,a,0)\), \(A_1=(0,0,a)\).

Направляющие векторы прямых: \(\overrightarrow{BA_1}=(-a,0,a)\) и \(\overrightarrow{AC}=(a,a,0)\). Их скалярное произведение равно \(-a^2\); для угла между прямыми берём острый угол, поэтому используем модуль этого произведения.

Длины векторов равны \(a\sqrt{2}\) и \(a\sqrt{2}\). Следовательно, \(\cos\varphi=\frac{|{-a^2}|}{(a\sqrt{2})(a\sqrt{2})}=\frac12\), значит, \(\varphi=60^\circ\).

Ответ: \(60^\circ\).