5. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром a найдите расстояние от вершины A до плоскости A₁BD.

Введём координаты: A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), D(0, a, 0), A₁(0, 0, a).

Плоскость, проходящая через точки A₁, B и D, имеет уравнение \(x+y+z=a\).

Расстояние от точки A(0, 0, 0) до этой плоскости равно \(\dfrac{|0+0+0-a|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\dfrac{a}{\sqrt{3}}\).

Ответ: \(\dfrac{a}{\sqrt{3}}\).