5. В квадрате ABCD на сторонах BC и CD взяты точки M и N так, что BM = CN. Докажите, что AM = BN и AM ⟂ BN.

Пусть сторона квадрата ABCD равна \(a\), а \(BM=CN=x\).

Введём координаты: \(A(0,0)\), \(B(a,0)\), \(C(a,a)\), \(D(0,a)\). Тогда, поскольку M лежит на BC, а N — на CD:

\[M(a,x),\qquad N(a-x,a).\]

1. Найдём длину \(AM\):

\[AM^2=(a-0)^2+(x-0)^2=a^2+x^2.\]

2. Найдём длину \(BN\):

\[BN^2=(a-x-a)^2+(a-0)^2=(-x)^2+a^2=a^2+x^2.\]

Следовательно, \(AM^2=BN^2\), поэтому \(AM=BN\).

3. Проверим перпендикулярность отрезков:

\[\overrightarrow{AM}=(a,x),\qquad \overrightarrow{BN}=(-x,a).\]

Их скалярное произведение равно:

\[\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BN}=a(-x)+x\cdot a=0.\]

Значит, \(AM\perp BN\).

Ответ: \(AM=BN\), а \(AM\perp BN\).