5. В окружности ω(O,R) проведена хорда АВ. Радиус ОС перпендикулярен хорде АВ и пересекает её в точке М. Известно, что центральный угол ∠AOB = 120°. Найдите: а) градусную меру дуги АВ; b)угол ∠OAM; с)докажите, что АМ = МВ.

Решение:

Дано: окружность ω(O, R), хорда АВ, ОС ⊥ АВ, М — точка пересечения ОС и АВ, \( \angle AOB = 120° \).

Найти:

а) дугу АВ;

b) \( \angle OAM \);

с) доказать, что АМ = МВ.

а) Градусная мера дуги АВ:

Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается. Следовательно, градусная мера дуги АВ равна градусной мере \( \angle AOB \).

\( \text{arc} AB = \angle AOB = 120° \).

b) Угол ∠OAM:

Рассмотрим \( \triangle AOB \). Так как ОА и ОВ — радиусы окружности, то \( OA = OB = R \). Следовательно, \( \triangle AOB \) — равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Углы при основании АВ — это \( \angle OAB \) и \( \angle OBA \).

Сумма углов в \( \triangle AOB \) равна 180°. Поэтому:

\[ \angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180° \]

\[ 2 \angle OAB + 120° = 180° \]

\[ 2 \angle OAB = 180° - 120° \]

\[ 2 \angle OAB = 60° \]

\[ \angle OAB = \frac{60°}{2} = 30° \]

По условию, ОС ⊥ АВ, значит \( \angle OMA = 90° \).

В \( \triangle OAM \) (прямоугольный \( \angle OMA = 90° \)):

\[ \angle OAM + \angle AOM + \angle OMA = 180° \]

\[ 30° + \angle AOM + 90° = 180° \]

\[ \angle AOM = 180° - 90° - 30° = 60° \]

Таким образом, \( \angle OAM = 30° \).

с) Докажем, что АМ = МВ:

Рассмотрим \( \triangle OAB \). ОА = ОВ (радиусы), \( \angle AOB = 120° \). ОС — радиус, перпендикулярный хорде АВ в точке М. В равнобедренном треугольнике \( \triangle OAB \) высота ОС, проведённая к основанию АВ, является также и медианой. Это значит, что она делит основание АВ пополам.

Следовательно, точка М делит хорду АВ пополам, то есть АМ = МВ.

Другое доказательство:

Рассмотрим прямоугольные треугольники \( \triangle OAM \) и \( \triangle OBM \).

1. ОА = ОВ (радиусы).

2. ОС — общая сторона (или \( OM \) — общий катет, так как \( OC = R \) и \( OM = OC - MC = R - MC \)).

3. \( \angle OMA = \angle OMB = 90° \) (по условию, ОС ⊥ АВ).

По двум катетам (или по гипотенузе и катету) \( \triangle OAM = \triangle OBM \).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: АМ = МВ.

Ответ: а) 120°; b) 30°; с) доказано.