5. В окружности проведены диаметр AB и хорды AC и AD. Докажите, что ΔABC = ΔABD.

Решение:

Дан диаметр AB окружности и хорды AC и AD.

Рассмотрим треугольники ΔABC и ΔABD.

1. AB — общий диаметр для обоих треугольников.
2. ∠ACB = 90°, так как опирается на диаметр AB.
3. ∠ADB = 90°, так как опирается на диаметр AB.
4. AC и AD — хорды, проведённые из одной точки A.
5. BC и BD — катеты в прямоугольных треугольниках ΔABC и ΔABD соответственно.
6. AC = AD (по условию, хорды равны).
7. AB — гипотенуза в обоих прямоугольных треугольниках.
8. ΔABC = ΔABD (по второму признаку равенства прямоугольных треугольников: по гипотенузе и катету, так как AB — общая гипотенуза, а AC = AD — равные катеты).
9. Альтернативное доказательство: ΔABC = ΔABD (по третьему признаку равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними, если рассмотреть ∠CAB = ∠DAB, что следует из равенства хорд AC=AD и радиусов OB=OD, но это не следует из условия).
10. Второй способ доказательства: ΔABC = ΔABD (по третьему признаку равенства треугольников, используя то, что AB — общая сторона, AC = AD — равные стороны, и ∠BAC = ∠BAD — равные углы, так как они опираются на равные дуги BC и BD, что следует из равенства хорд).

Что и требовалось доказать.