5. В окружности проведены диаметр АВ и равные хорды АС и AD. Докажите, что ДАВС = ДABD.

Решение:

Рассмотрим треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle ABD \).

1. \( AB \) — диаметр окружности.
2. \( AC = AD \) (по условию, хорды равны).
3. \( BC \) и \( BD \) — хорды.
4. \( \angle ACB \) — угол, опирающийся на диаметр \( AB \). Следовательно, \( \angle ACB = 90^ \). \( \triangle ABC \) — прямоугольный.
5. \( \angle ADB \) — угол, опирающийся на диаметр \( AB \). Следовательно, \( \angle ADB = 90^ \). \( \triangle ABD \) — прямоугольный.
6. В прямоугольных треугольниках \( \triangle ABC \) и \( \triangle ABD \):
• \( AB \) — общая гипотенуза.
• \( AC = AD \) (по условию).

По признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету, \( \triangle ABC = \triangle ABD \).

Альтернативное доказательство:

1. \( AC = AD \) (по условию).
2. \( \angle ABC \) и \( \angle ABD \) — вписанные углы, опирающиеся на дуги \( AC \) и \( AD \) соответственно.
3. Так как \( AC = AD \), то дуги, на которые они опираются, равны: \( \text{arc} AC = \text{arc} AD \).
4. Равные вписанные углы опираются на равные дуги. Следовательно, \( \angle ABC = \angle ABD \). (Примечание: это утверждение неверно, вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны, но \( \angle ABC \) и \( \angle ABD \) не являются вписанными углами, опирающимися на дуги \( AC \) и \( AD \) соответственно. \( \angle ABC \) опирается на дугу \( AC \), а \( \angle ADB \) опирается на дугу \( AB \). \( \angle ACB \) опирается на дугу \( AB \).)

Вернемся к первому доказательству, оно корректно.

1. \( AB \) — диаметр.
2. \( AC = AD \) (дано).
3. \( \angle ACB = 90^ \) (угол, опирающийся на диаметр).
4. \( \angle ADB = 90^ \) (угол, опирающийся на диаметр).
5. \( AB \) — общая гипотенуза для \( \triangle ABC \) и \( \triangle ABD \).
6. \( AC \) и \( AD \) — катеты соответственно.
7. \( AC = AD \) (дано).

По гипотенузе и катету (признак равенства прямоугольных треугольников), \( \triangle ABC = \triangle ABD \).

Ответ: \( \triangle ABC = \triangle ABD \) по признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.