5. В окружности проведены диаметры AB и CD. Докажите, что хорды AC и BD параллельны.

Решение:

Дано: AB и CD — диаметры окружности.

Доказать: AC || BD.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники \( \triangle AOC \) и \( \triangle BOD \).
2. \( OA = OC = OB = OD \) (радиусы окружности).
3. \( \angle AOC = \angle BOD \) (вертикальные углы).
4. Следовательно, \( \triangle AOC \) = \( \triangle BOD \) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
5. Из равенства треугольников следует, что \( AC = BD \) (как соответствующие стороны равных треугольников).
6. Рассмотрим треугольники \( \triangle AOC \) и \( \triangle BOD \).
7. \( OA = OB \) (радиусы).
8. \( OC = OD \) (радиусы).
9. \( \angle OAC = \angle OBD \) (углы, опирающиеся на равные дуги BC и AD, или как углы при основании равных равнобедренных треугольников \( \triangle AOC \) и \( \triangle BOD \) соответственно).
10. Из равенства \( \angle OAC = \angle OBD \) следует, что прямые AC и BD параллельны, так как они являются накрест лежащими углами при секущей AB, и эти углы равны.

Что и требовалось доказать.