5. В окружности с центром О проведены диаметр АВ и хорды AC и AD так, что ∠BAC = ∠BAD (рис. 63). Докажите, что АС = AD.

Доказательство:

1. Равные центральные углы:
• Угол ∠BAC является вписанным углом, опирающимся на дугу BC. Соответствующий центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен ∠BOC.
• Угол ∠BAD является вписанным углом, опирающимся на дугу BD. Соответствующий центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен ∠BOD.
• По условию задачи, ∠BAC = ∠BAD. Следовательно, центральные углы, опирающиеся на те же дуги, равны: ∠BOC = ∠BOD.
2. Равные дуги:
• Если центральные углы равны, то и дуги, на которые они опираются, равны. Значит, дуга BC = дуга BD.
3. Равные хорды:
• Хорды, стягивающие равные дуги в одной окружности, равны.
• Следовательно, хорда AC (стягивающая дугу BC) равна хорде AD (стягивающей дугу BD).

Что и требовалось доказать.