5. В параллелограмме ABCD биссектриса угла A, равного 60°, пересекает сторону BC в точке M. Отрезки AM и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если AB = 8.

Пусть AB = 8, а AD = BC = x. Возьмём координаты A(0, 0), B(8, 0), D(x/2, x√3/2): тогда угол A равен 60°.

Биссектриса угла A направлена под углом 30° к AB. Точка M лежит на BC, поэтому M = B + t(D − A) = (8 + tx/2, t x√3/2). Из условия, что M лежит на биссектрисе, получаем t x√3/2 = (8 + tx/2)/√3, откуда tx = 4.

Перпендикулярность AM ⟂ DM означает (M − A)·(M − D) = 0. Подставляя координаты и tx = 4, получаем x² = 64, следовательно, x = 8.

Значит, обе стороны параллелограмма равны 8, и его периметр равен 2(8 + 8) = 32.

Ответ: 32.