5. В параллелограмме ABCD биссектриса угла D пересекает сторону АВ в точке Р. Отрезок АР меньше отрезка ВР в 6 раз. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 14 см.

Дано:

• Параллелограмм ABCD.
• DP — биссектриса ∠D.
• P лежит на стороне AB.
• AP = $$\frac{1}{6}$$ BP.
• AB = 14 см.

Найти:

• Периметр параллелограмма ABCD (P_ABCD).

Решение:

1. Находим длины отрезков AP и BP:
• AB = AP + BP.
• 14 = AP + BP.
• По условию, AP = $$\frac{1}{6}$$ BP.
• Подставляем: 14 = $$\frac{1}{6}$$ BP + BP.
• 14 = $$\frac{7}{6}$$ BP.
• BP = $$14 \times \frac{6}{7} = 2 \times 6 = 12$$ см.
• AP = $$\frac{1}{6} \times 12 = 2$$ см.
• Проверка: AP + BP = 2 + 12 = 14 см. Верно.
2. Свойства параллелограмма и биссектрисы:
• DP — биссектриса ∠D. По определению биссектрисы, она делит угол пополам: ∠ADP = ∠PDC.
• AB || DC (стороны параллелограмма).
• DP пересекает параллельные прямые AB и DC.
• Следовательно, ∠ADP и ∠PDC являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых AB и DC секущей DP.
• Значит, ∠ADP = ∠PDC.
• Из равенства ∠ADP = ∠PDC и ∠ADP = ∠PDC следует, что ∠ADP = ∠ADP (что очевидно), но главное - ∠ADP = ∠DPC.
3. Анализируем треугольник APD:
• Мы знаем, что ∠ADP = ∠DPC.
• ∠DPC — это тот же угол, что и ∠APD (вертикальные углы, если бы мы продолжили DP и AC, но нам это не нужно).
• Рассмотрим углы при биссектрисе: ∠ADP = ∠PDC.
• Так как AB || DC, то ∠ADP = ∠DPC (накрест лежащие углы).
• Таким образом, в треугольнике APD, ∠ADP = ∠APD (так как ∠APD = ∠DPC).
• Треугольник APD равнобедренный с основанием DP.
• Следовательно, стороны, прилежащие к равным углам, равны: AD = AP.
4. Находим стороны параллелограмма:
• AD = AP = 2 см.
• В параллелограмме противоположные стороны равны, значит, BC = AD = 2 см.
• AB = 14 см.
• CD = AB = 14 см.
5. Находим периметр параллелограмма:
• P_ABCD = 2 * (AB + AD)
• P_ABCD = 2 * (14 см + 2 см)
• P_ABCD = 2 * 16 см
• P_ABCD = 32 см.

Ответ: Периметр параллелограмма равен 32 см.