5. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 111°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. То есть, \( AO = OC = \frac{1}{2} AC \) и \( BO = OD \).

По условию, диагональ AC в 2 раза больше стороны AB. Обозначим длину стороны AB как \( a \). Тогда \( AC = 2a \).

Так как \( AO = OC = \frac{1}{2} AC \), то \( AO = OC = \frac{1}{2} (2a) = a \).

Рассмотрим треугольник ABC. Сторона AB равна \( a \), а \( AO = a \) и \( OC = a \). Это означает, что треугольник ABC равнобедренный с \( AB = AO = OC = a \).

В равнобедренном треугольнике ABC, \( AB = OC = a \). Значит, \( \angle BAC = \angle BCO \).

Рассмотрим треугольник ADC. \( AO = OC = a \). Следовательно, треугольник ADC равнобедренный с \( AO = OC \).

По условию, \( \angle ACD = 111^{\circ} \).

Так как ABCD — параллелограмм, то противоположные углы равны: \( \angle BCD = \angle BAD \), \( \angle ABC = \angle ADC \).

Также, противоположные стороны равны: \( AB = CD = a \) и \( BC = AD \).

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

\( \angle BCD + \angle ADC = 180^{\circ} \)

\( \angle BCD + \angle ABC = 180^{\circ} \)

Угол \( \angle ACD = 111^{\circ} \) является частью угла \( \angle BCD \).

Рассмотрим треугольник ADC. У нас \( AO = OC = a \) и \( CD = a \). Это означает, что треугольник ADC равнобедренный, и \( AO = OC = CD = a \).

В равнобедренном треугольнике ADC, \( \angle CAD = \angle CDA \).

Сумма углов в треугольнике ADC равна 180°:

\[ \angle CAD + \angle CDA + \angle ACD = 180^{\circ} \]

Так как \( \angle CAD = \angle CDA \), обозначим этот угол как \( x \).

\[ x + x + 111^{\circ} = 180^{\circ} \]

\[ 2x = 180^{\circ} - 111^{\circ} \]

\[ 2x = 69^{\circ} \]

\[ x = \frac{69^{\circ}}{2} = 34.5^{\circ} \]

Следовательно, \( \angle CAD = \angle CDA = 34.5^{\circ} \).

Теперь найдем \( \angle BCD \). \( \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD \).

В параллелограмме, \( \angle BCD = \angle BAD \).

\( \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD \).

Мы знаем \( \angle CAD = 34.5^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник ABC. \( AB = a \), \( BC \) — неизвестно, \( AC = 2a \).

По теореме косинусов для треугольника ABC:

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB \cdot BC \cos(\angle ABC) \]

В параллелограмме \( \angle ABC + \angle BCD = 180^{\circ} \).

В треугольнике ADC, \( \angle ACD = 111^{\circ} \).

Углы \( \angle ACB \) и \( \angle CAD \) являются накрест лежащими при параллельных прямых BC и AD и секущей AC, но это неверно, так как AC не параллельна BC. Углы \( \angle ACB \) и \( \angle CAD \) не являются накрест лежащими.

Углы \( \angle BAC \) и \( \angle ACD \) не связаны напрямую.

Рассмотрим треугольник COD. \( OC = a \), \( OD = BO \), \( CD = a \). Треугольник COD является равнобедренным, так как \( OC = CD = a \).

Следовательно, \( \angle CO D = \angle CDO = \angle CDA = 34.5^{\circ} \).

Угол \( \angle COD \) и \( \angle AOB \) — вертикальные, значит \( \angle AOB = \angle COD = 34.5^{\circ} \).

Углы \( \angle BOC \) и \( \angle DOA \) — вертикальные. Сумма смежных углов \( \angle COD + \angle BOC = 180^{\circ} \).

\[ 34.5^{\circ} + \angle BOC = 180^{\circ} \]

\[ \angle BOC = 180^{\circ} - 34.5^{\circ} = 145.5^{\circ} \]

Угол между диагоналями — это острый угол, образованный их пересечением. В данном случае, это \( \angle AOB \) или \( \angle COD \).

Следовательно, угол между диагоналями равен \( 34.5^{\circ} \).

Ответ: 34.5