5. В параллелограмме \(ABCD\) заданы векторы \(\vec a=\overrightarrow{AB}\) и \(\vec b=\overrightarrow{AD}\). Точка \(K\) лежит на стороне \(AB\), причём \(AK:KB=3:2\), а точка \(E\) лежит на стороне \(AD\), причём \(AE:ED=2:3\). Выразите через \(\vec a\) и \(\vec b\) векторы \(\overrightarrow{BK}\), \(\overrightarrow{DE}\) и \(\overrightarrow{KE}\).

Так как \(AK:KB=3:2\), весь отрезок \(AB\) состоит из 5 равных частей, и \(\overrightarrow{AK}=\frac{3}{5}\vec a\). Аналогично, из \(AE:ED=2:3\) следует, что \(\overrightarrow{AE}=\frac{2}{5}\vec b\).

Для первого вектора:

\(\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AK}=-\vec a+\frac{3}{5}\vec a=-\frac{2}{5}\vec a\).

Для второго:

\(\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE}=-\vec b+\frac{2}{5}\vec b=-\frac{3}{5}\vec b\).

Для третьего пройдём от \(K\) через \(A\) к \(E\):

\(\overrightarrow{KE}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AE}=-\frac{3}{5}\vec a+\frac{2}{5}\vec b\).

Ответ: \(\overrightarrow{BK}=-\frac{2}{5}\vec a\), \(\overrightarrow{DE}=-\frac{3}{5}\vec b\), \(\overrightarrow{KE}=-\frac{3}{5}\vec a+\frac{2}{5}\vec b\).