№5. В прямоугольном параллелепипеде ABCD A₁B₁C₁D₁ известны длины рёбер AA₁ = 7, AB = 16, AD = 6. Точка K — середина ребра CD₁. а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку B перпендикулярно прямой AK, пересекает отрезок A₁K. б) Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью ABC.

Выберем координаты: A(0; 0; 0), B(16; 0; 0), D(0; 6; 0), A₁(0; 0; 7). Тогда C(16; 6; 0), D₁(0; 6; 7), а середина CD₁ — K(8; 6; 3.5). Направляющий вектор AK: (8; 6; 3.5), или, умножив на 2, (16; 12; 7).

а) Утверждение в условии неверно при указанных данных. Плоскость через B, перпендикулярная AK, имеет нормаль (16; 12; 7), поэтому её уравнение: 16(x − 16) + 12y + 7z = 0. Левая часть в точке A₁ равна −207, а в точке K — −31.5. На отрезке A₁K эта величина линейно меняется между двумя отрицательными значениями, поэтому нулю не равна и плоскость отрезок не пересекает. Продолжение прямой A₁K пересекает плоскость за точкой K. Следовательно, доказать пункт а) без исправления условия нельзя.

б) Нормаль к плоскости ABC направлена вдоль оси z. Для плоскости из условия нормаль имеет компоненты (16; 12; 7). Горизонтальная длина этой нормали равна √(16² + 12²) = 20, а вертикальная компонента равна 7. Поэтому тангенс угла между плоскостями равен 20/7.

Ответ: а) утверждение противоречит указанным данным; б) tan φ = 20/7.