5. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 24, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 6√15. Найдите sin ∠ABC.

Обозначим \(BC=x\), а гипотенузу \(AB=c\). По теореме Пифагора \(c=\sqrt{24^2+x^2}\).

Площадь треугольника можно выразить через оба катета и через гипотенузу и высоту к ней: \(\frac{24x}{2}=\frac{c\cdot6\sqrt{15}}{2}\). Значит, \(24x=6\sqrt{15}\,c\), откуда \(c=\frac{4x}{\sqrt{15}}\).

Подставим в теорему Пифагора: \(\left(\frac{4x}{\sqrt{15}}\right)^2=24^2+x^2\). Тогда \(\frac{16x^2}{15}=576+x^2\), поэтому \(x^2=8640\), то есть \(BC=24\sqrt{15}\).

Следовательно, \(AB=\sqrt{24^2+(24\sqrt{15})^2}=96\). Синус угла \(ABC\) — отношение противолежащего катета к гипотенузе: \(\sin\angle ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{24}{96}=\frac14\).

Ответ: \(\frac14\).