5. В прямоугольном треугольнике с острым углом 30 больший катет равен 18 см. На какие отрезки делит этот катет биссектриса большего острого угла треугольника?

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, \( \angle C = 90^{\circ} \). Пусть \( \angle B = 30^{\circ} \), тогда \( \angle A = 60^{\circ} \). Больший катет лежит против большего острого угла, значит, катет AC = 18 см.

В прямоугольном треугольнике напротив угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит, \( AC = \frac{1}{2} AB \).

\( 18 = \frac{1}{2} AB \) \( \implies AB = 36 \) см.

Найдем второй катет BC по теореме Пифагора: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \).

\( 36^2 = 18^2 + BC^2 \).

\( 1296 = 324 + BC^2 \).

\( BC^2 = 1296 - 324 = 972 \).

\( BC = \sqrt{972} = \sqrt{324 \cdot 3} = 18\sqrt{3} \) см.

Биссектриса большего острого угла (\( \angle A = 60^{\circ} \)) делит противоположный катет BC.

Пусть биссектриса АD делит катет BC на отрезки BD и DC. По теореме о биссектрисе угла треугольника, отношение отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону, равно отношению двух других сторон:

\( \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{36}{18} = 2 \).

Значит, \( BD = 2 DC \).

Сумма отрезков равна катету BC: \( BD + DC = BC = 18\sqrt{3} \).

Подставим \( BD = 2 DC \) в последнее уравнение:

\( 2 DC + DC = 18\sqrt{3} \).

\( 3 DC = 18\sqrt{3} \).

\( DC = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3} \) см.

\( BD = 2 DC = 2 \cdot 6\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \) см.

Ответ: Биссектриса большего острого угла делит катет BC на отрезки 6√3 см и 12√3 см.