5. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана ВМ. На ней взята точка О. Докажите равенство треугольников АВО и СВО.

Дано:

• $$ riangle ABC$$ — равнобедренный с основанием $$AC$$.
• $$BM$$ — медиана.
• $$O$$ — точка на $$BM$$.

Доказать: $$ riangle ABO = riangle CBO$$.

Доказательство:

Так как $$ riangle ABC$$ — равнобедренный с основанием $$AC$$, то $$AB = BC$$ и $$\angle BAM = \angle BCM$$.

Медиана $$BM$$ в равнобедренном треугольнике является также высотой и биссектрисой.

Следовательно, $$BM ot AC$$, что означает $$\angle BMA = \angle BMC = 90^\circ$$.

Рассмотрим $$ riangle ABM$$ и $$ riangle CBM$$:

• $$AB = CB$$ (по условию, т.к. $$ riangle ABC$$ равнобедренный).
• $$BM$$ — общая сторона.
• $$\angle ABM = \angle CBM$$ (так как $$BM$$ — биссектриса).

По первому признаку равенства треугольников ($$\text{сторона-угол-сторона}$$), $$ riangle ABM = riangle CBM$$.

Из равенства этих треугольников следует, что $$AM = CM$$.

Теперь рассмотрим $$ riangle ABO$$ и $$ riangle CBO$$:

• $$AB = CB$$ (по условию).
• $$\angle ABO = \angle CBO$$ (так как $$BM$$ — биссектриса, и $$O$$ лежит на $$BM$$, значит $$\angle ABO$$ является частью $$\angle ABM$$, а $$\angle CBO$$ — частью $$\angle CBM$$, и $$\angle ABM = \angle CBM$$).
• $$BO$$ — общая сторона.

По первому признаку равенства треугольников ($$\text{сторона-угол-сторона}$$), $$ riangle ABO = riangle CBO$$.

Что и требовалось доказать.