5) В равнобедренной трапеции ABCD диагональ CA перпендикулярна боковой стороне, угол D равен 60°, AD = 20 см, BC = 10 см. Найти периметр трапеции.

Пусть AD и BC — основания трапеции. В равнобедренной трапеции с основаниями 20 см и 10 см разность оснований делится поровну у концов большего основания:

\(\frac{AD-BC}{2}=\frac{20-10}{2}=5\) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной и высотой трапеции. Угол D равен 60°, а прилежащий к нему горизонтальный катет равен 5 см. Поэтому высота равна \(5\sqrt{3}\) см, а боковая сторона:

\(\sqrt{5^2+(5\sqrt{3})^2}=\sqrt{25+75}=10\) см.

Проверка условия о диагонали: горизонтальная проекция CA равна 15 см, поэтому скалярное произведение направляющих векторов CA и CD равно \(15\cdot(-5)+(5\sqrt{3})^2=0\). Значит, CA перпендикулярна CD.

Периметр равен сумме оснований и двух равных боковых сторон:

\(P=20+10+2\cdot10=50\) см.

Ответ: 50 см.