5. В равнобедренный треугольник с боковой стороной 15 см и периметром 54 см вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

Краткая запись:

• Треугольник равнобедренный.
• Боковая сторона (b) = 15 см.
• Периметр (P) = 54 см.
• Найти: Радиус вписанной окружности (r) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим длину основания (a) равнобедренного треугольника. Периметр P = 2b + a.
2. Шаг 2: Подставляем известные значения: 54 = 2 * 15 + a.
3. Шаг 3: Решаем уравнение: 54 = 30 + a => a = 54 - 30 = 24 см.
4. Шаг 4: Находим высоту (h) равнобедренного треугольника. Высота, проведенная к основанию, делит его пополам. Получаем прямоугольный треугольник с катетами h, a/2 и гипотенузой b.
5. Шаг 5: Применяем теорему Пифагора: b^2 = h^2 + (a/2)^2.
6. Шаг 6: Подставляем значения: 15^2 = h^2 + (24/2)^2 => 225 = h^2 + 12^2 => 225 = h^2 + 144.
7. Шаг 7: Находим высоту: h^2 = 225 - 144 => h^2 = 81 => h = 9 см.
8. Шаг 8: Находим площадь (S) треугольника по формуле: S = (1/2) * a * h.
9. Шаг 9: S = (1/2) * 24 * 9 = 12 * 9 = 108 см^2.
10. Шаг 10: Используем формулу для площади треугольника через радиус вписанной окружности: S = p * r, где p — полупериметр.
11. Шаг 11: Полупериметр p = P / 2 = 54 / 2 = 27 см.
12. Шаг 12: Подставляем значения в формулу: 108 = 27 * r.
13. Шаг 13: Находим радиус: r = 108 / 27 = 4 см.

Ответ: Радиус вписанной окружности равен 4 см.