5. В равностороннем треугольнике сторона равна 12 см. Найдите радиусы вписанной и описанной около треугольника окружности.

Решение:

Для равностороннего треугольника существуют формулы, связывающие длину стороны с радиусами вписанной ($$r$$) и описанной ($$R$$) окружностей.

• Формула для радиуса вписанной окружности ($$r$$):
  $$r = rac{a}{2√{3}}$$, где $$a$$ — длина стороны треугольника.
• Формула для радиуса описанной окружности ($$R$$):
  $$R = rac{a}{√{3}}$$, где $$a$$ — длина стороны треугольника.

По условию задачи, сторона равностороннего треугольника $$a = 12$$ см.

1. Расчет радиуса вписанной окружности:
   $$r = rac{12}{2√{3}} = rac{6}{√{3}} = rac{6√{3}}{3} = 2√{3}$$ см.
2. Расчет радиуса описанной окружности:
   $$R = rac{12}{√{3}} = rac{12√{3}}{3} = 4√{3}$$ см.

Также можно заметить, что для равностороннего треугольника радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности ($$R = 2r$$).

$$R = 2 · (2√{3}) = 4√{3}$$ см, что совпадает с полученным результатом.

Ответ: Радиус вписанной окружности равен 2√{3} см, радиус описанной окружности равен 4√{3} см.