№ 5. В ромбе ABCD биссектриса угла ABD проходит через середину стороны AD. Найдите углы ромба.

Решение. Пусть биссектриса угла ABD пересекает AD в точке M, причём M — середина AD. В треугольнике ABD биссектриса делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон: \(AM/MD=AB/BD\). Поскольку \(AM=MD\), получаем \(AB=BD\).

В ромбе \(AB=AD\), поэтому \(AB=AD=BD\), и треугольник ABD равносторонний. Следовательно, угол BAD равен \(60^\circ\). Угол BAD — внутренний угол ромба при вершине A; противоположный угол C равен ему, а соседние углы B и D дополнительны к нему.

Ответ: \(\angle A=\angle C=60^\circ\), \(\angle B=\angle D=120^\circ\).