5. В тексте, приведенном в задании 5, Светы есть попрыгунчик (каучуковый шарик). Она со всей силы бросила об асфальт. После первого отскока попрыгунчик подлетел на высоту 560 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит попрыгунчик, станет меньше 20 см?

Задание 5. Задача про попрыгунчик

Дано:

• Начальная высота после первого отскока: \( h_1 = 560 \) см.
• Каждый следующий отскок высота в 2 раза меньше предыдущей.

Найти: номер отскока \( n \), после которого высота \( h_n \) станет меньше 20 см.

Решение:

Это задача на геометрическую прогрессию, где первый член \( h_1 = 560 \), а знаменатель прогрессии \( q = \frac{1}{2} \) (так как высота уменьшается в 2 раза).

Формула n-го члена геометрической прогрессии: \( h_n = h_1 \cdot q^{n-1} \).

Нам нужно найти такое \( n \), при котором \( h_n < 20 \).

Запишем последовательность высот:

• 1-й отскок: \( h_1 = 560 \) см.
• 2-й отскок: \( h_2 = 560 \cdot \frac{1}{2} = 280 \) см.
• 3-й отскок: \( h_3 = 280 \cdot \frac{1}{2} = 140 \) см.
• 4-й отскок: \( h_4 = 140 \cdot \frac{1}{2} = 70 \) см.
• 5-й отскок: \( h_5 = 70 \cdot \frac{1}{2} = 35 \) см.
• 6-й отскок: \( h_6 = 35 \cdot \frac{1}{2} = 17.5 \) см.

После 6-го отскока высота становится 17.5 см, что меньше 20 см.

Ответ: 6.