5. В тетраэдре DABC все рёбра равны 8, точка K ∈ AD и AK = KD, точка M ∈ BD, точка N ∈ CD и BM:MD = CN:ND = 1:3. Найдите а) периметр и б) площадь сечения (MNK).

Так как K, M и N лежат на трёх рёбрах, выходящих из вершины D, сечение плоскостью (MNK) — треугольник KMN.

Длины сторон. В равносторонней грани ABD со стороной 8 возьмём координаты A=(0,0), B=(8,0), D=(4,4√3). Тогда K — середина AD, а BM:MD=1:3, поэтому M делит BD в отношении 1:3 от B. По формуле расстояния получаем KM=2√7. По симметрии грани BCD аналогично KN=2√7. Кроме того, BM=CD·1/4=2 и CN=DB·1/4=2; M и N имеют одинаковую долю пути от B и C к D, поэтому MN=3/4·BC=6.

а) Периметр: P=KM+KN+MN=2√7+2√7+6=6+4√7.

Ответ: а) 6+4√7.

б) В равносторонних гранях ABD и BCD углы между KM и BD, а также между MN и соответствующими направлениями в грани равны; для площади удобно использовать координаты правильного тетраэдра: A=(0,0,0), B=(8,0,0), C=(4,4√3,0), D=(4,4√3/3,8√(2/3)). Подстановка координат точек K=(A+D)/2, M=(3B+D)/4, N=(3C+D)/4 в формулу площади треугольника даёт S_KMN=6√14.

Ответ: б) 6√14.