5. В трапеции ABCD диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD и является биссектрисой угла A. Найдите длину AB, если периметр трапеции равен 35 см, ∠D = 60°.

Поскольку AC ⟂ CD, треугольник ACD прямоугольный, а ∠ACD = 90°.

1. В треугольнике ACD: ∠DAC = 180° − 90° − 60° = 30°.
2. AC — биссектриса угла A, поэтому ∠BAC = ∠CAD = 30°. Так как AD ∥ BC, угол между AC и BC также равен 30°. Следовательно, в треугольнике ABC углы при A и C равны 30°, поэтому AB = BC.
3. По соотношению сторон прямоугольного треугольника с углами 30°, 60° и 90°: если CD = x, то AD = 2x и AC = √3x.
4. В треугольнике ABC сторона AC лежит напротив угла 120°, а AB — напротив угла 30°. По теореме синусов AB = AC · sin 30° / sin 120° = x.
5. Периметр равен AD + BC + CD + AB = 2x + x + x + x = 5x. Тогда 5x = 35, откуда x = 7 см.

Значит, AB = x = 7 см.

Ответ: 7 см.