5*. В трапеции ABCD сторона AB перпендикулярна диагонали AC, AC = 6√2, BC = 12, DE — высота треугольника ACD, а тангенс угла ACD равен 2. Найдите величину CE.

Решение:

1. Так как \( AB \perp AC \), то \( \angle BAC = 90^{\circ} \).

2. В \( \triangle ABC \) по теореме Пифагора: \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \).

\( AB^2 + (6\sqrt{2})^2 = 12^2 \)

\( AB^2 + 72 = 144 \)

\( AB^2 = 144 - 72 = 72 \)

\( AB = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \) см.

3. Так как \( AB \perp AC \) и \( ABCD \) — трапеция, то \( AB \) — высота трапеции.

4. В \( \triangle ACD \) \( DE \) — высота, проведённая к стороне \( AC \).

\( \tan(\angle ACD) = \frac{DE}{CE} = 2 \).

5. Площадь \( \triangle ACD \) можно вычислить как \( S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DE \) или \( S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot h \) (где h — высота, проведённая из A к CD).

6. По условию \( \tan(\angle ACD) = 2 \). В прямоугольном \( \triangle CDE \): \( \frac{DE}{CE} = 2 \), значит \( DE = 2 \cdot CE \).

7. В \( \triangle ADE \) по теореме Пифагора: \( AE^2 + DE^2 = AD^2 \).

8. В \( \triangle CDE \) по теореме Пифагора: \( CE^2 + DE^2 = CD^2 \).

\( CE^2 + (2 \cdot CE)^2 = CD^2 \)

\( CE^2 + 4 \cdot CE^2 = CD^2 \)

\( 5 \cdot CE^2 = CD^2 \) \( CD = CE \sqrt{5} \).

9. В \( \triangle ACD \) \( AC = 6\sqrt{2} \).

10. Угол \( \angle CAD = 90^{\circ} - \angle ACD \).

11. В \( \triangle ACD \) \( \tan(\angle CAD) = \frac{CD}{AC} \).

12. \( \tan(\angle CAD) = \tan(90^{\circ} - \angle ACD) = \cot(\angle ACD) = \frac{1}{\tan(\angle ACD)} = \frac{1}{2} \).

\( \frac{CD}{AC} = \frac{1}{2} \).

\( CD = \frac{1}{2} \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \) см.

13. Теперь найдём \( CE \): \( CD = CE \sqrt{5} \) \( 3\sqrt{2} = CE \sqrt{5} \) \( CE = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{10}}{5} \) см.

Ответ: CE = $$\frac{3\sqrt{10}}{5}$$ см.