5. В треугольнике ABC α:β:γ = 1:3:8. Найдите длину AC (в см), если AB = 10 см.

Сумма углов треугольника равна 180°. В отношении 1:3:8 всего 12 частей, поэтому одна часть равна \(180°:12=15°\).

Тогда \(\alpha=15°\), \(\beta=45°\), \(\gamma=120°\). Сторона AB лежит напротив угла \(\gamma\), а сторона AC — напротив угла \(\beta\).

По теореме синусов:

\(\dfrac{AC}{\sin 45°}=\dfrac{AB}{\sin 120°}\), поэтому \(AC=10\cdot\dfrac{\sin 45°}{\sin 120°}=10\cdot\dfrac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{3}/2}=\dfrac{10\sqrt{6}}{3}\text{ см}\approx 8.16\text{ см}\).

Ответ: \(\dfrac{10\sqrt{6}}{3}\) см (примерно 8.16 см).