5. В треугольнике ABC AB = 4√3, BC = 3, S₍ABC₎ = 3√3. Найти AC.

Площадь через две стороны и угол между ними: S = ½ · AB · BC · sin B.

Подставим данные: 3√3 = ½ · 4√3 · 3 · sin B, откуда sin B = ½. Поэтому возможны два угла: B = 30° или B = 150°.

По теореме косинусов: AC² = AB² + BC² − 2 · AB · BC · cos B.

Если B = 30°, то AC² = 48 + 9 − 24√3 · (√3/2) = 21, поэтому AC = √21.

Если B = 150°, то AC² = 48 + 9 − 24√3 · (−√3/2) = 93, поэтому AC = √93.

Ответ: AC = √21 или √93; без уточнения, острый или тупой угол B, возможны оба значения.