5. В треугольнике ABC AB = BC. На сторонах AB и CB соответственно выбраны точки A₁ и C₁ так, что ∠BCA₁ = ∠BAC₁. Докажите, что ΔAA₁C = ΔCC₁A.

Краткая запись:

• Дан треугольник ABC, в котором AB = BC.
• Точки A₁ на стороне AB и C₁ на стороне CB.
• Условие: ∠BCA₁ = ∠BAC₁.
• Доказать: ΔAA₁C = ΔCC₁A.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Анализ исходных данных.
   Так как AB = BC, треугольник ABC — равнобедренный. Следовательно, углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA.
2. Шаг 2: Рассмотрение треугольников ΔAA₁C и ΔCC₁A.
   Нам нужно доказать равенство этих треугольников. Давайте посмотрим, что нам известно:
   
   • У нас есть общий угол ∠A = ∠C (так как треугольник ABC равнобедренный).
   • Также нам дано, что ∠BCA₁ = ∠BAC₁.
3. Шаг 3: Связь данных с углами треугольников.
   Обратим внимание на углы ∠CAA₁ и ∠ACC₁.
   
   • ∠CAA₁ = ∠BAC - ∠BAA₁.
   • ∠ACC₁ = ∠BCA - ∠BCC₁.
   
   Из условия ∠BAC = ∠BCA.
   Дано ∠BCA₁ = ∠BAC₁.
   Это означает, что ∠ACC₁ = ∠CAA₁.
4. Шаг 4: Применение признака равенства треугольников.
   Рассмотрим треугольники ΔAA₁C и ΔCC₁A:
   
   • Сторона AC — общая для обоих треугольников.
   • Угол ∠A = ∠C (из равнобедренности ΔABC).
   • Угол ∠CAA₁ = ∠ACC₁ (доказано в Шаге 3).
   
   Таким образом, по первому признаку равенства треугольников (по двум углам и стороне между ними, или УСУ) треугольники ΔAA₁C и ΔCC₁A равны.

Доказано.