5. В треугольнике ABC AM — высота. Известно, что AM = 8, BC = 6, угол ABC = 60 градусов. Найдите длину стороны AC.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABM:

• \[ \text{AB} = \frac{\text{AM}}{\sin 60^{\circ}} = \frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{16}{\sqrt{3}} \text{ (по теореме синусов)}\]
• \[ \text{BM} = \text{AB} \cdot \cos 60^{\circ} = \frac{16}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{8}{\sqrt{3}} \text{ (по теореме косинусов)}\]

Так как M лежит на BC, то BM + MC = BC. Значит:

• \[ \text{MC} = \text{BC} - \text{BM} = 6 - \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3} - 8}{\sqrt{3}} \text{ (основание M лежит между B и C)}\]

В прямоугольном треугольнике AMC:

• \[ \text{AC}^2 = \text{AM}^2 + \text{MC}^2 = 8^2 + \left(\frac{6\sqrt{3} - 8}{\sqrt{3}}\right)^2 \]
• \[ \text{AC}^2 = 64 + \frac{36 \cdot 3 - 2 x 6\sqrt{3} x 8 + 64}{3} = 64 + \frac{108 - 96\sqrt{3} + 64}{3} \]
• \[ \text{AC}^2 = \frac{192 + 172 - 96\sqrt{3}}{3} = \frac{364 - 96\sqrt{3}}{3} \]
• \[ \text{AC} = \sqrt{\frac{364 - 96\sqrt{3}}{3}} \text{ (приблизительно } \approx 9.32) \text{ (для проверки: если MC = 8 - 6√3, то AC² = 64 + (8 - 6√3)² = 64 + 64 - 96√3 + 108 = 236 - 96√3. AC = √236 - 96√3 ≈ 8.56)}\]

Примечание: В условии задачи не указано, где находится точка M относительно отрезка BC. Мы предположили, что M находится между B и C. В случае, если B лежит между M и C, или C лежит между M и B, решение будет отличаться.