5. В треугольнике ABC $\angle C=73^\circ$, $\angle B=77^\circ$, отрезок BM — высота треугольника. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BMC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 6 см.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. В треугольнике ABC $\angle C=73^\circ$, $\angle B=77^\circ$, отрезок BM — высота треугольника. Найдите радиус…$ Фото задания

5. В треугольнике ABC $\angle C=73^\circ$, $\angle B=77^\circ$, отрезок BM — высота треугольника. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BMC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 6 см.

Accepted Answer

Так как $BM$ — высота, $BM\perp AC$. Точка $M$ лежит на прямой $AC$, поэтому в треугольнике $BMC$ угол $M=90^\circ$, а $\angle BCM=\angle C=73^\circ$.

В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы, значит искомый радиус равен $\frac{BC}{2}$.

В треугольнике $ABC$ сторона $BC$ лежит напротив угла $A=180^\circ-73^\circ-77^\circ=30^\circ$. По теореме синусов $BC=2R\sin A=2\cdot6\cdot\sin30^\circ=6$ см.

Следовательно, радиус описанной окружности треугольника $BMC$ равен $6/2=3$ см.

Ответ: 3 см.