5. В треугольнике ABC известно, что AB = BC = 24, внешний угол при вершине C равен 150°. Найдите длину медианы BK.

Внутренний угол при вершине C смежен с внешним углом, поэтому \(\angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\). Поскольку \(AB=BC\), углы при основании равны: \(\angle A=\angle C=30^\circ\).

Тогда \(\angle B=180^\circ-30^\circ-30^\circ=120^\circ\). По теореме косинусов:

\(AC^2=24^2+24^2-2\cdot24\cdot24\cos120^\circ=1728\), значит, \(AC=24\sqrt{3}\).

В равнобедренном треугольнике медиана к основанию делит основание пополам. Поэтому \(AK=KC=12\sqrt{3}\), а медиана \(BK\) является также высотой. По теореме Пифагора:

\(BK^2=AB^2-AK^2=24^2-(12\sqrt{3})^2=432\), откуда \(BK=12\sqrt{3}\).

Ответ: \(12\sqrt{3}\).