5. В треугольнике ABC известно, что ∠C = 90°, а медиана CM и биссектриса AL пересекаются в точке T, причём CT = CL. Найдите наибольший острый угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.

Обозначим AC = a, BC = b, AB = c. Тогда c = √(a² + b²). По теореме о биссектрисе:

CL = ab/(a + c).

Пусть M — середина AB. Так как T лежит на CM, запишем CT = t·CM. Из координатного соотношения для пересечения CM и AL получается t = 2CL/(CL + b). Поскольку CM = c/2, имеем:

CT = c·CL/(CL + b) = ac/(2a + c).

По условию CT = CL, поэтому ac/(2a + c) = ab/(a + c). Сокращая на a и перемножая крест-накрест, получаем c(a + c) = b(2a + c).

Подставим c² = a² + b² и перенесём всё в одну сторону: (a − b)(a − b + c) = 0. Второй множитель положителен, поэтому a = b. Следовательно, прямоугольный треугольник равнобедренный, и оба его острых угла равны 45°.

Ответ: 45°.