5. В треугольнике APK угол A равен 43°, а угол PKC, смежный с углом AKP, равен 86°. Докажите, что биссектриса угла PKC параллельна прямой AP.

Так как углы \(\angle AKP\) и \(\angle PKC\) смежные, их сумма равна \(180^\circ\). Поэтому:

\(\angle AKP=180^\circ-86^\circ=94^\circ\).

Рассмотрим треугольник \(APK\). Сумма его углов равна \(180^\circ\), значит:

\(\angle APK=180^\circ-\angle A-\angle AKP=180^\circ-43^\circ-94^\circ=43^\circ\).

Пусть биссектриса угла \(PKC\) пересекает его сторону в луче \(l\). Тогда:

\(\angle PKl=\dfrac{\angle PKC}{2}=\dfrac{86^\circ}{2}=43^\circ\).

Итак, \(\angle PKl=\angle APK=43^\circ\). Эти углы являются соответственными при пересечении прямых \(l\) и \(AP\) секущей \(PK\). Следовательно, прямые параллельны.

Ответ: биссектриса угла \(PKC\) параллельна прямой \(AP\).