5. В треугольнике АВС угол C равен 90°, СН – высота, AB = 13, tgA = \(\frac{1}{5}\). Найдите СН.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC:

1. Найдем \( \tan A \) через отношение сторон: \( \tan A = \frac{BC}{AC} \). По условию \( \tan A = \frac{1}{5} \), следовательно \( \frac{BC}{AC} = \frac{1}{5} \).
2. Пусть \( BC = x \), тогда \( AC = 5x \).
3. По теореме Пифагора найдем гипотенузу AB:
   \[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]
   \[ (5x)^2 + x^2 = 13^2 \]
   \[ 25x^2 + x^2 = 169 \]
   \[ 26x^2 = 169 \]
   \[ x^2 = \frac{169}{26} \]
   \[ x = \sqrt{\frac{169}{26}} = \frac{13}{\sqrt{26}} \]
4. Таким образом, \( BC = \frac{13}{\sqrt{26}} \).
5. В прямоугольном треугольнике ABC высота CH, проведённая к гипотенузе, удовлетворяет свойству:
   \[ CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} \]
6. Подставим найденные значения:
   \[ CH = \frac{5x \cdot x}{13} = \frac{5x^2}{13} \]
   \[ CH = \frac{5 \cdot \frac{169}{26}}{13} = \frac{5 \cdot 169}{26 \cdot 13} = \frac{5 \cdot 13 \cdot 13}{2 \cdot 13 \cdot 13} = \frac{5}{2} \]

Ответ: CH = \(\frac{5}{2}\).