5. В треугольнике MКР углы K и М равны соответственно 90° и 60°, KM=8 см. Найдите длину отрезка OP, если КО ⊥ MP.

Решение:

Дан треугольник MKP. \( \angle K = 90^{\circ} \) и \( \angle M = 60^{\circ} \). Следовательно, \( \angle P = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

KM = 8 см.

KO — высота, проведенная из вершины K на сторону MP. Точка O лежит на стороне MP. КО \( \perp \) MP.

Сначала найдем длину стороны MP (гипотенузы в \( \triangle MKP \)).

\[ \cos(\angle M) = \frac{KM}{MP} \]

\[ MP = \frac{KM}{\cos(\angle M)} = \frac{8}{\cos(60^{\circ})} = \frac{8}{0.5} = 16 \text{ см.} \]

Теперь найдем длину высоты KO. В прямоугольном треугольнике MKO:

\[ \sin(\angle M) = \frac{KO}{KM} \]

\[ KO = KM \cdot \sin(\angle M) = 8 \cdot \sin(60^{\circ}) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ см.} \]

Условие задачи: \"Найдите длину отрезка OP\".

Точка O лежит на MP. KO — высота. Мы нашли KO. Нам нужно найти OP. OP — это отрезок, который является частью гипотенузы MP.

В прямоугольном треугольнике MKO, \( \angle MKO = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике KOP, \( \angle KOP = 90^{\circ} \). \( \angle P = 30^{\circ} \). \( KO = 4\sqrt{3} \) см.

Найдем OP:

\[ \tan(\angle P) = \frac{KO}{OP} \]

\[ OP = \frac{KO}{\tan(\angle P)} = \frac{4\sqrt{3}}{\tan(30^{\circ})} = \frac{4\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12 \text{ см.} \]

Ответ: Длина отрезка OP равна 12 см.